الهندسة


تعريفات ومفاهيم
المتجه هو خط اتجاهي تحديد إحداثيات 2.


ضرب متجه برقم k يؤدي إلى تغيير طوله بمقدار k مرة. & nbsp؛ عندما \ (k & lt؛ 0 \) سوف يتوسع المتجه.

طول المتجه يتم حسابه بواسطة الصيغة \ (\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \) .

متجه طبيعي - متجه طول الوحدة ، يتم الحصول عليه بقسمة المتجه على طوله.

مجموع المتجهات يتم الحصول عليها من خلال إنشاء متجه ثانٍ من نهاية الأول ، ووضع المتجه في النقطة الناتجة. < / ص>

إذا x 1 ، y 1 ، x 2 ، y 2 - إحداثيات المتجهين الأول والثاني ، على التوالي ، ثم مجموعهما متجه بإحداثيات \ ((x_1 + x_2) \) و \ ((y_1 + y_2) \) .

فرق المتجه - مجموع حيث ينعكس المتجه الثاني (مضروبًا في -1).

حاصل الضرب النقطي للمتجهات - رقم ، إسقاط متجه على آخر مضروبًا في طوله. في أبسط حالة من الفضاء الإقليدي العادي ، يتم استخدام الفضاء "الهندسي" أحيانًا. تعريف المنتج العددي للمتجهات غير الصفرية a & nbsp؛ و b & nbsp؛ كمنتج أطوال هذه المتجهات وجيب التمام للزاوية بينهما: نبسب ؛
\ (a \ cdot b = | a | \ cdot | b | \ cdot cos \ alpha \) .

بالنسبة إلى حاصل الضرب القياسي بواسطة المتجه ، فإن الصيغة التالية صحيحة:
\ (a \ cdot b = x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2 \) ، & nbsp؛
حيث x 1 ، y 1 ، x 2 ، y 2 - إحداثيات المتجه الأول والثاني ، على التوالي ، يسمح لك بتحديد ما إذا كان المتجه الثاني يقع في نفس نصف المستوى مثل الأول. < / ص>

حاصل ضرب متقاطع للمتجهات - متجه في فضاء ثلاثي الأبعاد عمودي على كلا المتجهين ، متساو في الطول مع المنطقة الموجهة من متوازي الأضلاع مبني على هذه المتجهات. حاصل ضرب أطوال المتجهات بواسطة جيب الزاوية بينهما ، وتعتمد علامة هذا الجيب على ترتيب المعاملات: & nbsp؛ alpha \) & nbsp؛

إذا تم حسابها باستخدام الإحداثيات:
\ (a \ x \ b = x_1 \ cdot y_2 + x_2 \ cdot y_1 \) ،
حيث x 1 ، y 1 ، x 2 ، y 2 - إحداثيات المتجه الأول والثاني ، على التوالي ، تسمح لك بتحديد جانب الخط الذي يقع عليه المتجه الأول ، ويقع المتجه الثاني . كما يسمح لك بإيجاد المساحة الموجهة للمثلثات ومتوازيات الأضلاع.

دوران المتجه يتم باستخدام السحر الأسود للأتباع السريين لهندسة Lobachevsky.
لتدوير متجه بواسطة \ (\ alpha \) عكس اتجاه عقارب الساعة ( \ (\ alpha & lt؛ = 2 \ cdot \ pi \ ) ، تعتاد على الزوايا بالتقدير الدائري) ، تحتاج إلى ضرب المتجه في هذه المصفوفة:
\ (\ begin {bmatrix} \ cos \ alpha & amp؛ -sin \ alpha \\ \ sin \ alpha & amp؛ cos \ alpha \ end {bmatrix} \) < / ص>

ماذا يعني ضرب متجه في مصفوفة؟ لنفترض أن إحداثيات المتجه لدينا هي x و y ، ثم حاصل ضرب هذا المتجه والمصفوفة لدينا سيكونان مساويين للمتجه بالإحداثيات x & # 39 ؛ و y & # 39 ؛ :
\ (x '= x \ cdot cos \ alpha - y \ cdot sin \ alpha \\ y' = x \ cdot sin \ alpha + y \ cdot cos \ alpha \)

إذن ، نحصل على متجه جديد له نفس الطول تمامًا ، لكن تم تدويره بالفعل بالزاوية A عكس اتجاه عقارب الساعة.

Training problem

تغيير الساعة

يمكن تعريف الخط بخمس طرق مختلفة:
1) المعادلة & nbsp؛ \ (y = kx + b \) ؛ المعادلة الأولى للخط المستقيم التي يتم تدريسها في المدرسة ملائمة للبناء والحساب يدويًا ، لكن استخدامها في البرنامج غير مريح للغاية ؛
2) بمقدار نقطتين ملقاة عليه - في الواقع مناسب تمامًا ، ولكن له تطبيق ضيق نوعًا ما ؛
3) بواسطة المتجه الطبيعي لخط مستقيم ونقطة - المتجه العادي إلى خط مستقيم هو متجه عمودي عليه ، المزيد عنه أدناه ؛
4) على طول متجه التوجيه للخط المستقيم والنقطة - متجه التوجيه هو متجه يقع على الخط المستقيم وعمودي على المتجه العادي (حسنًا ، منطقي) ، حوله أدناه ؛
5) معادلة الخط المستقيم \ (ax + by + c = 0 \) ؛ المعادلة الكلاسيكية للخط المستقيم ، في معظم الحالات الأكثر عالمية. الآن عنه.

إحداثيات المتجه العادي لمثل هذا الخط: \ ((a؛ b) \) أو \ ((-a؛ -b) \) .

إحداثيات متجه الاتجاه لهذا الخط: \ ((- b؛ a) \) أو \ ((b؛ -a) \) .

الخطوط متوازية إذا:
\ ({a1 \ over b1} = {a2 \ over b2} \) .

المسافة من نقطة إلى خط (كن حذرًا: يمكن أن تكون المسافة سالبة ، كل هذا يتوقف على أي جانب من الخط تقع النقطة):
\ ({(a \ cdot x_1 + b \ cdot y_1 + c) \ over \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} \) ،
حيث x 1 ، y 1 هي إحداثيات النقطة.

إنشاء خط من متجه عادي ونقطة ، أو متجه اتجاه ونقطة ، يؤدي إلى بناء خط من نقطتين ، لذلك دعونا ننظر إليه (وهو أيضًا الأكثر استخدامًا ).

إذا x 1 ، y 1 ، x 2 ، y 2 - إحداثيات النقطتين الأولى والثانية على التوالي ، ثم

\ (a = y_1 - y_2 \)

\ (b = x_2 - x_1 \)

\ (c = x_1 \ cdot y_2 - x_2 \ cdot y_1 \)

Training problem

Lazy Vasya وإصدار Half-Life 3

تقاطع
نقطة تقاطع خطوط

a 1 ، b 1 ، c 1 - معاملات السطر الأول ،
a 2 ، b 2 ، c 2 - معاملات السطر الثاني
x ، y - نقطة التقاطع.

\ (x = {- (c1 \ cdot b2 - c2 \ cdot b1) \ over (a1 \ cdot b2 - a2 \ cdot b1)} \\ y = {- (a1 \ cdot c2 - a2 \ cdot c1) \ over (a1 \ cdot b2 - a2 \ cdot b1)} \)

نحن نعلم بالفعل كيفية التحقق من خطوط التقاطع (فهي ليست متوازية) ، وإيجاد نقطة تقاطعها.

الآن دعنا نتعلم كيفية القيام بذلك باستخدام المقاطع .

أولاً ، دعنا نتعلم كيفية فحصها بحثًا عن التقاطع.

تتقاطع المقاطع إذا كانت نهايات أحدهما على جانبي الآخر والعكس صحيح (يمكن التحقق من ذلك بسهولة بواسطة المنتج المتقاطع). & nbsp ؛ الحالة الوحيدة عندما لا يعمل ذلك - الأجزاء تقع على خط مستقيم واحد. & nbsp ؛ لذلك ، تحتاج إلى التحقق من تقاطع ما يسمى. المربع المحيط (المربع المحيط بالمقطع) - تحقق من تقاطع إسقاط المقاطع على X و Y . محاور

الآن بعد أن عرفنا كيفية فحص المقاطع بحثًا عن التقاطع ، دعنا نتعلم كيفية العثور على نقطة (أو مقطع) تقاطعهم:
- إذا لم يتقاطعوا ، فمن الواضح أن هذه النقطة غير موجودة ؛
- وإلا فإننا نبني خطوطًا مستقيمة تقع عليها هذه القطاعات.

إذا كانتا متوازية ، فإن المقاطع تقع على نفس الخط ، ونحتاج إلى إيجاد مقطع التقاطع - من الحد الأقصى للحدود اليسرى للمقاطع إلى الحد الأدنى من الحدود اليمنى ( النقطة أقل من النقطة الأخرى ، إذا كانت إلى اليسار ، في حالة المساواة X - الإحداثيات - إذا كانت أقل). إذا لم تكن الخطوط متوازية ، فابحث عن نقطة تقاطعها وأعدها.

Training problem

سيد بيك اب