هندسه

تعریف و مفاهیم

ضرب یک بردار در عدد k طول آن را k بار تغییر می‌دهد. وقتی \(k < 0\) بردار گسترش می یابد.

طول یک بردار با فرمول \(\sqrt {x^2 محاسبه می شود + y^2} \). 

بردار نرمال شده - بردار واحد طول، که از تقسیم یک بردار بر طول آن به دست می آید.

مجموع بردارها با ساختن بردار دوم از انتهای بردار اول و قرار دادن بردار در نقطه حاصل به دست می‌آید. /p>

اگر x1، y1، x 2، y2 - به ترتیب مختصات بردار اول و دوم، سپس مجموع آنها بردار است با مختصات \((x_1 + x_2) \)و \((y_1 + y_2) \).

تفاوت بردار - مجموع بردار دوم معکوس می شود (ضرب در -1).

ضرب نقطه بردارها - عدد، طرح ریزی یک بردار بر دیگری ضرب در طول آن. در ساده ترین حالت فضای اقلیدسی معمولی، گاهی اوقات از فضای «هندسی» استفاده می شود. تعریف حاصل ضرب اسکالر بردارهای غیر صفر a و b به عنوان حاصل ضرب طول این بردارها و کسینوس زاویه بین آنها:  
\(a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot cos \alpha\).

برای حاصل ضرب نقطه ای بردار، فرمول زیر صادق است:
\(a \cdot b = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\)، 
جایی که x1، y1، x2، y2 - مختصات بردار اول و دوم، به ترتیب، به شما امکان می دهد تعیین کنید که آیا بردار دوم در همان نیم صفحه اول قرار دارد یا خیر.< /p>

ضرب متقاطع بردارها - بردار در فضای سه بعدی عمود بر هر دو بردار، از نظر طول برابر با ناحیه جهت دار متوازی الاضلاع بر روی این بردارها ساخته شده است. حاصل ضرب طول بردارها با سینوس زاویه بین آنها و علامت این سینوس به ترتیب عملوندها بستگی دارد:   آلفا\) 

اگر با استفاده از مختصات محاسبه شود:
\(a\ x\ b = x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1\)،
جایی که x1، y1، x2، y2 - مختصات بردار اول و دوم، به ترتیب، به شما امکان می دهد تعیین کنید که بردار اول در کدام سمت خط قرار دارد و بردار دوم در آن قرار دارد. . همچنین به شما امکان می دهد ناحیه جهت مثلث و متوازی الاضلاع را پیدا کنید.

چرخش یک بردار با استفاده از جادوی سیاه استادان مخفی هندسه لوباچفسکی انجام می شود.
/> برای چرخاندن یک بردار با \(\alpha\) در خلاف جهت عقربه‌های ساعت (\(\alpha <= 2 \cdot \ pi\ )، به زوایای رادیان عادت کنید، باید بردار را در این ماتریس ضرب کنید:
\(\begin{bmatrix} \cos \alpha & -sin \alpha \\ \sin \alpha & cos \alpha \end{bmatrix}\)< /p>

ضد بردار در ماتریس به چه معناست؟ فرض کنید مختصات بردار ما x و y باشد، سپس حاصل ضرب این بردار و ماتریس ما برابر با بردار با مختصات x' خواهد بود. ; و y':
\(x' = x \cdot cos \alpha - y \cdot sin \alpha \\ y' = x \cdot sin \alpha + y \cdot cos\alpha\)

تقاطع

a1، b1، c1 - ضرایب خط اول،
a2، b2، c2 - ضرایب خط دوم،
x، y - نقطه تقاطع.

\(x = {-(c1 \cdot b2 - c2 \cdot b1) \over (a1 \cdot b2 - a2 \cdot b1)} \\ y = {-(a1 \ cdot c2 - a2 \cdot c1) \over (a1 \cdot b2 - a2 \cdot b1)} \)

ما قبلاً می دانیم که چگونه خطوط را برای تقاطع بررسی کنیم (آنها موازی نیستند)، و نقطه تقاطع آنها را پیدا کنیم.

اکنون بیایید نحوه انجام این کار را با بخش‌ها بیاموزیم. 

ابتدا، بیایید یاد بگیریم که چگونه آنها را برای تقاطع بررسی کنیم.

قطعات قطع می شوند اگر انتهای یکی در طرف مقابل دیگری باشد و بالعکس (این به راحتی توسط ضرب ضربدر بررسی می شود).  تنها موردی که این کار نمی کند - بخش ها روی یک خط مستقیم قرار می گیرند. برای ​​آن، باید به اصطلاح تقاطع را بررسی کنید. جعبه کراندار (کادر مرزی بخش) - تقاطع پیش بینی بخش ها را در X و Y بررسی کنید.

اکنون که می دانیم چگونه قسمت ها را برای تقاطع بررسی کنیم، بیایید یاد بگیریم که چگونه نقطه (یا قطعه) تقاطع آنها را پیدا کنیم:
- اگر همدیگر را قطع نکنند، معلوم است که چنین نقطه ای وجود ندارد؛
- در غیر این صورت، ما خطوط مستقیمی را می سازیم که این بخش ها روی آنها قرار می گیرند.

اگر موازی باشند، پاره ها روی یک خط قرار می گیرند، و ما باید قطعه تقاطع را پیدا کنیم - از حداکثر مرزهای سمت چپ پاره ها تا حداقل مرزهای راست ( نقطه کمتر از نقطه دیگر است، اگر در سمت چپ باشد، در صورت برابری X-مختصات - اگر کمتر باشد).