Définitions et concepts
Un vecteur est une ligne directionnelle qui est défini 2 coordonnées.
Multiplier un vecteur par un nombre k change sa longueur de k fois. Lorsque \(k < 0\) le vecteur se développera.
La longueur d'un vecteur est calculée par la formule \(\sqrt {x^2 + y^2} \).
Vecteur normalisé - un vecteur de longueur unitaire, obtenu en divisant un vecteur par sa longueur.
La somme des vecteurs est obtenue en construisant un deuxième vecteur à partir de la fin du premier et en mettant le vecteur dans le point résultant.< /p>
Si x1, y1, x 2, y2 - coordonnées des premier et deuxième vecteurs, respectivement, alors leur somme est un vecteur avec des coordonnées \((x_1 + x_2) \)et \((y_1 + y_2) \).
Différence vectorielle - la somme où le deuxième vecteur est inversé (multiplié par -1).
Produit scalaire de vecteurs - nombre, projection d'un vecteur sur un autre multiplié par sa longueur. Dans le cas le plus simple de l'espace euclidien ordinaire, l'espace "géométrique" est parfois utilisé. définition du produit scalaire des vecteurs non nuls a et b comme le produit des longueurs de ces vecteurs et du cosinus de l'angle entre eux :
\(a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot cos \alpha\).
Pour le produit scalaire par un vecteur, la formule suivante est vraie :
\(a \cdot b = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\),
où x1, y1, x2 >, y2 - les coordonnées du premier et du deuxième vecteur, respectivement, vous permettent de déterminer si le deuxième vecteur se trouve dans le même demi-plan que le premier.< /p>
Produit croisé de vecteurs - un vecteur dans un espace tridimensionnel perpendiculaire aux deux vecteurs, de longueur égale à la zone orientée du parallélogramme construit sur ces vecteurs. Le produit des longueurs des vecteurs par le sinus de l'angle qui les sépare, et le signe de ce sinus dépend de l'ordre des opérandes : alpha\)
Si calculé à l'aide de coordonnées :
\(a\ x\ b = x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1\),
où x1, y1, x2 >, y2 - les coordonnées du premier et du deuxième vecteur, respectivement, vous permettent de déterminer de quel côté de la ligne sur lequel se trouve le premier vecteur, le deuxième vecteur est situé . Permet également de trouver l'aire orientée des triangles et des parallélogrammes.
La rotation d'un vecteur est réalisée grâce à la magie noire des adeptes secrets de la géométrie Lobachevsky.
Pour faire pivoter un vecteur de \(\alpha\) dans le sens antihoraire (\(\alpha <= 2 \cdot \ pi\ ), habituez-vous aux angles en radians), vous devez multiplier le vecteur par cette matrice :
\(\begin{bmatrix} \cos \alpha & -sin \alpha \\ \sin \alpha & cos \alpha \end{bmatrix}\)< /p>
Que signifie multiplier un vecteur par une matrice ? Disons que les coordonnées de notre vecteur sont x et y, alors le produit de ce vecteur et de notre matrice sera égal au vecteur avec les coordonnées x' ; et y' :
\(x' = x \cdot cos \alpha - y \cdot sin \alpha \\ y' = x \cdot sin \alpha + y \cdot cos\alpha\)
Nous obtenons donc un nouveau vecteur d'exactement la même longueur, mais déjà tourné d'un angle A dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.