Definizioni e concetti
Un vettore è una linea direzionale che è 2 coordinate definite.
Moltiplicando un vettore per un numero k ne cambia la lunghezza di k volte. Quando \(k < 0\) il vettore si espanderà.
La lunghezza di un vettore è calcolata dalla formula \(\sqrt {x^2 + y^2} \).
Vettore normalizzato - un vettore di lunghezza unitaria, ottenuto dividendo un vettore per la sua lunghezza.
La somma dei vettori si ottiene costruendo un secondo vettore dall'estremità del primo e ponendo il vettore nel punto risultante.< /p>
Se x1, y1, x 2, y2 - coordinate rispettivamente del primo e del secondo vettore, quindi la loro somma è un vettore con coordinate \((x_1 + x_2) \)e \((y_1 + y_2) \).
Differenza vettore - la somma in cui il secondo vettore è invertito (moltiplicato per -1).
Prodotto scalare di vettori - numero, proiezione di un vettore su un altro moltiplicato per la sua lunghezza. Nel caso più semplice dello spazio euclideo ordinario, a volte viene utilizzato lo spazio "geometrico". definizione del prodotto scalare dei vettori diversi da zero a e b come prodotto delle lunghezze di questi vettori e del coseno dell'angolo tra di loro:
\(a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot cos \alpha\).
Per il prodotto scalare per un vettore, vale la seguente formula:
\(a \cdot b = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\),
dove x1, y1, x2, y2 - coordinate rispettivamente del primo e del secondo vettore, consentono di determinare se il secondo vettore si trova sullo stesso semipiano del primo.< /p>
Prodotto incrociato di vettori - un vettore nello spazio tridimensionale perpendicolare a entrambi i vettori, uguale in lunghezza all'area orientata del parallelogramma costruito su questi vettori. Il prodotto delle lunghezze dei vettori per il seno dell'angolo compreso tra loro e il segno di questo seno dipende dall'ordine degli operandi: alpha\)
Se calcolato utilizzando le coordinate:
\(a\ x\ b = x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1\),
dove x1, y1, x2, y2 - le coordinate del primo e del secondo vettore, rispettivamente, consentono di determinare su quale lato della linea si trova il primo vettore, si trova il secondo vettore . Consente inoltre di trovare l'area orientata di triangoli e parallelogrammi.
La rotazione di un vettore viene eseguita utilizzando la magia nera degli adepti segreti della geometria Lobachevsky.
Per ruotare un vettore di \(\alpha\) in senso antiorario (\(\alpha <= 2 \cdot \ pi\ ), abituati agli angoli in radianti), devi moltiplicare il vettore per questa matrice:
\(\begin{bmatrix} \cos \alpha & -sin \alpha \\ \sin \alpha & cos \alpha \end{bmatrix}\)< /p>
Cosa significa moltiplicare un vettore per una matrice? Diciamo che le coordinate del nostro vettore sono x e y, quindi il prodotto di questo vettore e la nostra matrice sarà uguale al vettore con le coordinate x' ; e y':
\(x' = x \cdot cos \alpha - y \cdot sin \alpha \\ y' = x \cdot sin \alpha + y \cdot cos\alpha\)
Quindi otteniamo un nuovo vettore esattamente della stessa lunghezza, ma già ruotato dell'angolo A in senso antiorario.