Geometri


Takrif dan konsep

Vektor ialah garis arah yang ditakrifkan 2 koordinat.


Mendarab vektor dengan nombor k sedang menukar panjangnya sebanyak k kali. Apabila \(k < 0\) vektor akan berkembang.

Panjang vektor dikira dengan formula \(\sqrt {x^2 + y^2} \). 

Vektor biasa - vektor panjang unit, diperoleh dengan membahagikan vektor dengan panjangnya.

Jumlah vektor diperoleh dengan membina vektor kedua dari penghujung yang pertama dan meletakkan vektor ke dalam titik yang terhasil.< /p>

Jika x1, y1, x 2, y2 - koordinat bagi vektor pertama dan kedua, masing-masing, maka jumlahnya ialah vektor dengan koordinat \((x_1 + x_2) \)dan \((y_1 + y_2) \).

Perbezaan vektor - jumlah di mana vektor kedua diterbalikkan (didarab dengan -1).

Darab titik bagi vektor - nombor, unjuran satu vektor ke yang lain didarab dengan panjangnya. Dalam kes paling mudah ruang Euclidean biasa, ruang "geometrik" kadangkala digunakan. takrif produk skalar bagi vektor bukan sifar a dan b sebagai hasil darab panjang vektor ini dan kosinus sudut antara keduanya:  
\(a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot cos \alpha\).

Untuk produk titik oleh vektor, formula berikut adalah benar:
\(a \cdot b = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\), 
di mana x1, y1, x2, y2 - koordinat bagi vektor pertama dan kedua, masing-masing, membolehkan anda menentukan sama ada vektor kedua terletak pada separuh satah yang sama dengan yang pertama.< /p>

Darab silang vektor - vektor dalam ruang tiga dimensi berserenjang dengan kedua-dua vektor, sama panjang dengan kawasan berorientasikan segi empat selari dibina pada vektor ini. Hasil darab panjang vektor dengan sinus sudut di antaranya dan tanda sinus ini bergantung pada susunan operan:   alpha\) 

Jika dikira menggunakan koordinat:
\(a\ x\ b = x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1\),
di mana x1, y1, x2, y2 - koordinat bagi vektor pertama dan kedua, masing-masing, membolehkan anda menentukan sisi garisan yang mana vektor pertama terletak, vektor kedua terletak . Juga membolehkan anda mencari kawasan berorientasikan segi tiga dan segi empat selari.

Putaran vektor dilakukan menggunakan ilmu hitam pakar rahsia geometri Lobachevsky.
Untuk memutarkan vektor dengan \(\alpha\) lawan jam (\(\alpha <= 2 \cdot \ pi\ ), biasakan dengan sudut dalam radian), anda perlu mendarabkan vektor dengan matriks ini:
\(\begin{bmatrix} \cos \alpha & -sin \alpha \\ \sin \alpha & cos \alpha \end{bmatrix}\)< /p>

Apakah yang dimaksudkan untuk mendarab vektor dengan matriks? Katakan koordinat vektor kami ialah x dan y, maka hasil darab vektor ini dan matriks kami akan sama dengan vektor dengan koordinat x' ; dan y':
\(x' = x \cdot cos \alpha - y \cdot sin \alpha \\ y' = x \cdot sin \alpha + y \cdot cos\alpha\)

Jadi kita mendapat vektor baharu yang sama panjangnya, tetapi sudah diputar mengikut sudut A lawan jam.

Training problem

Perubahan jam

Barisan boleh ditakrifkan dalam 5 cara berbeza:
1) persamaan \( y = kx + b\); persamaan pertama garis lurus yang diajar di sekolah adalah mudah untuk membina dan mengira secara manual, tetapi penggunaannya dalam program sangat menyusahkan;
2) dengan 2 mata terletak di atasnya - sebenarnya agak mudah, tetapi mempunyai aplikasi yang agak sempit;
3) dengan vektor normal garis lurus dan titik - vektor normal ke garis lurus ialah vektor yang berserenjang dengannya, lebih lanjut mengenainya di bawah;
4) di sepanjang vektor arah garis lurus dan titik - vektor arah ialah vektor yang terletak pada garis lurus dan berserenjang dengan vektor normal (logik), kira-kira di bawah;
5) persamaan garis lurus \(ax + by + c = 0\); persamaan klasik garis lurus, dalam kebanyakan kes yang paling universal. Sekarang tentang dia.

Koordinat vektor biasa bagi garisan sedemikian: \((a; b)\) atau \( (-a; -b)\).

Koordinat vektor arah garis sedemikian: \((-b; a)\) atau \ ((b; -a)\).

Garis adalah selari jika:
\({a1 \over b1} = {a2 \over b2}\).

Jarak dari titik ke garis (berhati-hati: jarak boleh menjadi negatif, semuanya bergantung pada sisi garis mana titik itu terletak):
\({(a \cdot x_1 + b \cdot y_1 + c) \over \sqrt{a^2 + b^2}}\),
dengan x1, y1 ialah koordinat titik.

Membina garis daripada vektor biasa dan titik, atau vektor arah dan titik, turun untuk membina garisan daripada 2 titik, jadi mari kita lihat (ia juga yang paling biasa digunakan ).< /p>

Jika x1, y1, x 2, y2 - koordinat titik pertama dan kedua masing-masing, kemudian

\(a = y_1 - y_2\)

\(b = x_2 - x_1\)

\(c = x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1\)

Training problem

Lazy Vasya dan keluaran Half-Life 3

Persimpangan

Titik persimpangan garisan

a1, b1, c1 - pekali bagi baris pertama,
a2, b2, c2 - pekali baris kedua,
x, y - titik persimpangan.

\(x = {-(c1 \cdot b2 - c2 \cdot b1) \over (a1 \cdot b2 - a2 \cdot b1)} \\ y = {-(a1 \ cdot c2 - a2 \cdot c1) \over (a1 \cdot b2 - a2 \cdot b1)} \)

Kami sudah tahu cara menyemak garisan untuk persilangan (ia tidak selari) dan mencari titik persilangannya.

Sekarang mari kita pelajari cara melakukan ini dengan segmen. 

Mula-mula, mari kita pelajari cara menyemaknya untuk persimpangan.

Segmen bersilang jika hujung satu berada pada sisi bertentangan dengan yang lain dan sebaliknya (ini mudah disemak oleh hasil silang).  Satu-satunya kes apabila ini tidak akan berfungsi - segmen terletak pada satu garis lurus. Untuk itu, anda perlu menyemak persimpangan yang dipanggil. kotak sempadan (kotak sempadan segmen) - semak persilangan unjuran segmen pada X dan Y.

kapak.

Sekarang kita tahu cara menyemak segmen untuk persimpangan, mari belajar cara mencari titik (atau segmen) persimpangannya:
- jika mereka tidak bersilang, maka jelas bahawa titik sedemikian tidak wujud;
- jika tidak, kami akan membina garis lurus di mana segmen ini terletak.

Jika ia selari, maka segmen terletak pada garisan yang sama, dan kita perlu mencari segmen persimpangan - daripada maksimum sempadan kiri segmen kepada minimum sempadan kanan ( titik adalah kurang daripada titik lain, jika ia berada di sebelah kiri, sekiranya terdapat kesamaan X-koordinat - jika lebih rendah).

Jika garisan tidak selari, cari titik persilangannya dan kembalikannya.

Training problem

Master Pickup