Definições e conceitos
Um vetor é uma linha direcional que é definiu 2 coordenadas.
Multiplicar um vetor por um número k é alterar seu comprimento em k vezes. Quando \(k < 0\) o vetor se expandirá.
O comprimento de um vetor é calculado pela fórmula \(\sqrt {x^2 + y^2} \).
Vetor normalizado - um vetor de comprimento unitário, obtido dividindo um vetor por seu comprimento.
A soma dos vetores é obtida construindo um segundo vetor a partir do final do primeiro e colocando o vetor no ponto resultante.< /p>
Se x1, y1, x 2, y2 - coordenadas do primeiro e segundo vetores, respectivamente, então sua soma é um vetor com coordenadas \((x_1 + x_2) \)e \((y_1 + y_2) \).
Diferença de vetores - a soma onde o segundo vetor é invertido (multiplicado por -1).
Produto escalar de vetores - número, projeção de um vetor sobre outro multiplicado por seu comprimento. No caso mais simples do espaço euclidiano ordinário, às vezes é usado o espaço "geométrico". definição do produto escalar de vetores diferentes de zero a e b como o produto dos comprimentos desses vetores e o cosseno do ângulo entre eles:
\(a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot cos \alpha\).
Para o produto escalar por um vetor, a seguinte fórmula é verdadeira:
\(a \cdot b = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\),
onde x1, y1, x2, y2 - coordenadas do primeiro e segundo vetor, respectivamente, permite determinar se o segundo vetor está no mesmo semiplano que o primeiro.< /p>
Produto vetorial de vetores - um vetor no espaço tridimensional perpendicular a ambos os vetores, igual em comprimento à área orientada do paralelogramo construído sobre esses vetores. O produto dos comprimentos dos vetores pelo seno do ângulo entre eles e o sinal desse seno depende da ordem dos operandos: alpha\)
Se calculado usando coordenadas:
\(a\ x\ b = x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1\),
onde x1, y1, x2, y2 - as coordenadas do primeiro e do segundo vetor, respectivamente, permitem determinar de que lado da linha está o primeiro vetor, o segundo vetor está localizado . Também permite encontrar a área orientada de triângulos e paralelogramos.
A rotação de um vetor é realizada usando a magia negra dos adeptos secretos da geometria de Lobachevsky.
Para girar um vetor \(\alpha\) no sentido anti-horário (\(\alpha <= 2 \cdot \ pi\ ), acostume-se com os ângulos em radianos), você precisa multiplicar o vetor por esta matriz:
\(\begin{bmatrix} \cos \alpha & -sin \alpha \\ \sin \alpha & cos \alpha \end{bmatrix}\)< /p>
O que significa multiplicar um vetor por uma matriz? Digamos que as coordenadas do nosso vetor sejam x e y, então o produto desse vetor e nossa matriz será igual ao vetor com as coordenadas x' ; e sim:
\(x' = x \cdot cos \alpha - y \cdot sin \alpha \\ y' = x \cdot sin \alpha + y \cdot cos\alpha\)
Assim, obtemos um novo vetor de exatamente o mesmo comprimento, mas já girado pelo ângulo A no sentido anti-horário.