Geometri


Tanımlar ve kavramlar

Bir vektör bir yön çizgisidir. 2 koordinat tanımladı.


Bir vektörü bir sayıyla k çarpmak, uzunluğunu k kez değiştirmektir. \(k < 0\) vektör genişleyecektir.

Bir vektörün uzunluğu \(\sqrt {x^2) formülüyle hesaplanır. + y^2} \). 

Normalleştirilmiş vektör - bir vektörün uzunluğuna bölünmesiyle elde edilen birim uzunlukta bir vektör.

Vektörlerin toplamı, birinci vektörün sonundan ikinci bir vektör oluşturup vektörü sonuç noktasına koyarak elde edilir.< /p>

Eğer x1, y1 ise, x 2, y2 - sırasıyla birinci ve ikinci vektörlerin koordinatları, ardından bunların toplamı \((x_1 + x_2) \)ve \(((y_1 + y_2) \).

Vektör farkı - ikinci vektörün tersine çevrildiği yerin toplamı (-1 ile çarpılmış).

Vektörlerin nokta çarpımı - sayı, bir vektörün diğerine izdüşümü çarpı uzunluğu. Sıradan Öklid uzayının en basit durumunda, bazen "geometrik" uzay kullanılır. a ve b sıfır olmayan vektörlerin skaler çarpımının, bu vektörlerin uzunluklarının ve aralarındaki açının kosinüsünün çarpımı olarak tanımı:  
\(a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot cos \alpha\).

Bir vektöre göre iç çarpım için aşağıdaki formül doğrudur:
\(a \cdot b = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\), 
burada x1, y1, x2, y2 - sırasıyla birinci ve ikinci vektörün koordinatları, ikinci vektörün birinci ile aynı yarım düzlemde olup olmadığını belirlemenizi sağlar.< /p>

Vektörlerin çapraz çarpımı - üç boyutlu uzayda her iki vektöre dik, uzunluğu vektörün yönlendirilmiş alanına eşit bir vektör bu vektörler üzerine inşa edilmiş paralelkenar. Vektörlerin uzunluklarının aralarındaki açının sinüsü ile çarpımı ve bu sinüsün işareti, işlenenlerin sırasına bağlıdır:   alpha\) 

Koordinatlar kullanılarak hesaplanırsa:
\(a\ x\ b = x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1\),
burada x1, y1, x2, y2 - sırasıyla birinci ve ikinci vektörün koordinatları, birinci vektörün, ikinci vektörün bulunduğu çizginin hangi tarafında olduğunu belirlemenizi sağlar . Ayrıca üçgenlerin ve paralelkenarların yönlendirilmiş alanını bulmanızı sağlar.

Bir vektörün dönüşü Lobachevsky geometrisinin gizli ustalarının kara büyüsü kullanılarak gerçekleştirilir.
Bir vektörü saat yönünün tersine \(\alpha\) döndürmek için (\(\alpha <= 2 \cdot \ pi\ ), radyan cinsinden açılara alışın), vektörü şu matrisle çarpmanız gerekir:
\(\begin{bmatrix} \cos \alpha & -sin \alpha \\ \sin \alpha & cos \alpha \end{bmatrix}\)< /p>

Bir vektörü bir matrisle çarpmak ne anlama gelir? Diyelim ki vektörümüzün koordinatları x ve y ise bu vektörün ve matrisimizin çarpımı x' koordinatlarına sahip vektöre eşit olacaktır. ; ve y':
\(x' = x \cdot cos \alpha - y \cdot sin \alpha \\ y' = x \cdot sin \alpha + y \cdot cos\alpha\) Böylece, tam olarak aynı uzunlukta, ancak A açısı kadar saat yönünün tersine döndürülmüş yeni bir vektör elde ederiz.

Training problem

Saat değişikliği

Çizgi 5 farklı şekilde tanımlanabilir:
1) denklem \( y = kx + b\); Okulda öğretilen bir doğrunun ilk denklemi elle oluşturmak ve hesaplamak için uygundur, ancak bir programda kullanımı çok zahmetlidir;
2) üzerinde yatan 2 nokta - aslında oldukça uygun, ancak oldukça dar bir uygulamaya sahip;
3) bir düz çizginin ve bir noktanın normal vektörü ile - düz bir çizginin normal vektörü, ona dik bir vektördür, aşağıda bu konuda daha fazla bilgi verilmektedir;
4) düz çizgi ve noktanın yönlendirme vektörü boyunca - yönlendirme vektörü, düz çizgi üzerinde uzanan ve normal vektöre dik (iyi, mantıksal) bir vektördür;
5) düz bir çizginin denklemi \(ax + by + c = 0\); düz bir çizginin klasik denklemi, çoğu durumda en evrensel olanıdır. Şimdi onun hakkında.

Böyle bir doğrunun normal vektörünün koordinatları: \((a; b)\) veya \( (-a; -b)\).

Böyle bir doğrunun yön vektörünün koordinatları: \((-b; a)\) veya \ ((b; -a)\).

Doğrular paraleldir eğer:
\({a1 \over b1} = {a2 \overb2}\).

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe (dikkatli olun: mesafe negatif olabilir, her şey noktanın çizginin hangi tarafında olduğuna bağlıdır):
\({(a \cdot x_1 + b \cdot y_1 + c) \over \sqrt{a^2 + b^2}}\),
burada x1, y1 noktanın koordinatlarıdır.

Normal bir vektör ve bir noktadan veya bir yön vektörü ve bir noktadan bir doğru oluşturmak, 2 noktadan bir doğru oluşturmak anlamına gelir, bu yüzden buna bakalım (aynı zamanda en yaygın kullanılanıdır) ).< /p>

Eğer x1, y1 ise, x 2, y2 - sırasıyla birinci ve ikinci noktaların koordinatları, ardından

\(a = y_1 - y_2\)

\(b = x_2 - x_1\)

\(c = x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1\)

Training problem

Tembel Vasya ve Half-Life 3'ün piyasaya sürülmesi

Kavşak

Çizgilerin
kesişme noktası

a1, b1, c1 - ilk satırın katsayıları,
a2, b2, c2 - ikinci satırın katsayıları,
x, y - kesişme noktası.

\(x = {-(c1 \cdot b2 - c2 \cdot b1) \over (a1 \cdot b2 - a2 \cdot b1)} \\ y = {-(a1 \ cdot c2 - a2 \cdot c1) \over (a1 \cdot b2 - a2 \cdot b1)} \)

Kesişim için çizgileri nasıl kontrol edeceğimizi (paralel değiller) ve kesişme noktalarını nasıl bulacağımızı zaten biliyoruz.

Şimdi bunu segmentlerle nasıl yapacağımızı öğrenelim. 

Öncelikle, bunların kesişme açısından nasıl kontrol edileceğini öğrenelim.

Segmentler kesişir eğer birinin uçları diğerinin zıt tarafındaysa veya tersi ise (bu, çapraz çarpımla kolaylıkla kontrol edilebilir).  Bunun işe yaramayacağı tek durum, segmentlerin tek bir düz çizgi üzerinde yer almasıdır. Bunun için, sözde kesişme noktasını kontrol etmeniz gerekir. sınırlayıcı kutu (segmentin sınırlayıcı kutusu) - X ve Y üzerindeki segmentlerin izdüşümünün kesişimini kontrol edin.

eksenler.

Artık segmentlerin kesişim noktalarını nasıl kontrol edeceğimizi öğrendiğimize göre, kesişme noktalarını (veya segmentlerini) nasıl bulacağımızı öğrenelim:
- kesişmezlerse, böyle bir noktanın olmadığı açıktır;
- Aksi takdirde, bu segmentlerin üzerinde bulunduğu düz çizgiler oluşturacağız.

Paralel iseler, segmentler aynı doğru üzerinde yer alır ve segmentlerin sol sınırlarının maksimumundan sağ kenarlarının minimumuna kadar kesişen parçayı bulmamız gerekir ( nokta diğer noktadan daha küçüktür, eğer solda ise, eşitlik durumunda X-koordinatları - daha düşükse).

Çizgiler paralel değilse, kesişme noktalarını bulun ve geri getirin.

Training problem

Alım Ustası